Constantes Fundamentais em Física

Todos usamos constantes na nossa vida diária, frequentemente sem nos apercebermos disso; as constantes constituem para nós um conjunto de referências no qual baseamos as nossas relações e a nossa comunicação com os outros; deixem-me dar dois exemplos.

Quando regressamos a casa esperamos que ela se encontre sempre no mesmo local, quer dizer, esperamos que a sua localização seja uma constante. O facto de a localização da casa não mudar de dia para dia significa que é uma constante temporal mas realmente trata-se também de uma constante relativamente às diferentes pessoas que possam procurar-nos, porque nós exprimimos a localização através do número da porta e damos esse número a todos os que nos querem visitar; conseguimos imaginar a confusão se o número fosse diferente para os diferentes visitantes? O número da nossa porta é, assim, uma constante de que nos servimos como referência e que nos permite transmitir a informação de uma localização que é constante.

Vejamos um outro exemplo; suponhamos que alguém afirma que o rendimento de um trabalhador ao fim do mês é proporcional ao tempo que ele trabalhou. Essa pessoa estará de facto a supor uma relação matemática de proporcionalidade entre o número que exprime o rendimento, em euros, por exemplo, e o número de horas de trabalho durante o mês. Implicitamente estará a dizer que dividindo o rendimento mensal pelo tempo de trabalho obtém sempre o mesmo número, qualquer que seja o mês; esse número chama-se constante de proporcionalidade. A linguagem corrente é menos precisa do que a linguagem matemática e permite que se diga que uma grandeza é proporcional a outra mesmo quando há ligeiras flutuações no resultado do seu quociente. Nesta palestra pretendo olhar para as constantes que são usadas na física, tentando isolar aquelas que são verdadeiramente fundamentais, quer dizer, aquelas cuja existência é independente do nosso conhecimento e tem de ser aceite sem justificação. Aproveitarei esta oportunidade para expor algumas das minhas ideias mais controversas e os meus ouvintes andarão bem avisados se colocarem as devidas reservas relativamente ao que vou dizer e o confrontarem com os pontos de vista da grande maioria da comunidade científica.

Na aplicação da física à resolução de problemas concretos do dia a dia é totalmente irrelevante saber quantas e quais são as constantes fundamentais. Por exemplo, se queremos calcular a energia necessária para aquecer uma divisão, sabemos exactamente os cálculos que temos de fazer e esses cálculos não dependem do facto de algumas constantes usadas serem fundamentais ou de mera conveniência. Mesmo quando o problema é do domínio da relatividade ou da mecânica quântica continua a ser indiferente que as constantes sejam ou deixem de ser fundamentais. A questão só se põe verdadeiramente ao nível da unificação da física, quer dizer, quando procuramos englobar os diferentes ramos da física numa teoria única. Como alguém escreveu um dia, a física estará madura quando puder ser condensada numa fórmula que caiba na frente de uma t-shirt, algo do tipo .

É preciso entender bem este objectivo porque ele não significa que uma vez encontrada a fórmula unificadora desaparecerão os vários ramos da física e menos ainda significa que desaparecerão as restantes ciências. Há uma analogia que costumo fazer para clarificar esta questão da unificação. Todos fazemos uso de um processador de texto, seja ele Microsoft Word ou Latex, para o caso é irrelevante, e associamos a esses programas uma realidade própria, independente do computador em que estão instalados. Os computadores são diferentes uns dos outros mas funcionam, na sua essência, todos à custa de correntes eléctricas que são ligadas ou desligadas, as quais podem também ser representados por zeros e uns de uma álgebra binária. Não é certamente o conhecimento dessa álgebra binária ou das correntes eléctricas que circulam nos circuitos integrados que nos permite compreender o funcionamento do processador de texto, porque este tem uma existência a um nível diferente, como se prova pelo facto de essa existência ser possível em diferentes computadores, com diferentes sistemas operativos. De forma idêntica, os diferentes ramos da física e as diferentes ciências representam níveis diferentes da realidade e o seu estudo pode e tem de desenvolver-se independentemente do que venha a revelar-se a linguagem da física ao nível mais fundamental.

Qualquer teoria física está baseada em princípios, verdades fundamentais que não questionamos e cuja validade é estabelecida quando confrontamos as previsões da teoria com os resultados da experiência ou da observação da realidade. As constantes fundamentais são também aceites sem justificação para o seu valor; fazem parte da essência da teoria. Quando várias teorias competem entre si pela explicação de determinado conjunto de observações acaba sempre por verificar-se que uma delas se destaca por permitir previsões mais rigorosas ou por abranger um leque mais vasto de fenómenos. A razão porque a teoria da relatividade de Einstein destronou a mecânica de Newton é que, enquanto ambas são igualmente eficazes na previsão de resultados quando as energias envolvidas são baixas, a relatividade produz previsões muito mais exactas para experiências com energias elevadas. De facto é de esperar que qualquer nova teoria englobe como casos particulares as teorias anteriores nas condições em que estas produzem previsões correctas.

Na altura presente os físicos precisam ainda de lançar mão a teorias diferentes, consoante estudem fenómenos do domínio da cosmologia e astrofísica, da interacção entre átomos ou das partículas elementares. Coexistem, de forma nem sempre pacífica, as teorias da relatividade geral, da mecânica quântica e do modelo standard. De facto só na física do dia a dia, aquela que designaremos por física à dimensão humana, não persistem quaisquer dúvidas relativamente à teoria final a aplicar. Aqui reinam a mecânica de Newton e a teoria electromagnética de Maxwell, sendo certo que qualquer nova teoria terá que ser capaz de incorporá-las. Ressalve-se que os físicos quânticos estão inteiramente satisfeitos com a mecânica quântica e que os astrofísicos encontram satisfação idêntica com a relatividade geral; no entanto as coisas complicam-se quando as duas teorias são obrigadas a conviver para criar modelos do Universo primordial. Uma teoria unificada da física terá, quando existir, de ser aplicável a todo o Universo, desde as partículas elementares ao cosmos e a todos os tempos, desde a criação ao presente, permitindo previsões para a sua evolução; no entanto, para além da validade de uma teoria, os físicos estão habitualmente também preocupados com a sua elegância, conceito vago que tem a ver com a existência de um reduzido número de princípios; quer dizer, uma teoria será tanto mais elegante quanto menos verdades nos obrigar a aceitar sem justificação. É no âmbito desta procura de elegância que a determinação de quantas e quais são as constantes fundamentais encontra a sua razão.

Um primeiro tipo de constantes, que desejaria desde já riscar do número das fundamentais, diz respeito a leis de proporcionalidade aproximada. Por exemplo, quando arrasto uma cadeira sei que a força que tenho que fazer é aproximadamente proporcional à velocidade de arrastamento. Por outras palavras, dividindo a minha força pela velocidade da cadeira obtenho sempre mais ou menos o mesmo número, que designo por constante de atrito. Todos entenderão, no entanto, que há tantas variáveis num problema de atrito que a sua tradução numa simples lei de proporcionalidade não pode ser mais do que uma aproximação grosseira. Constantes deste tipo, constantes de conveniência, são caracterizadas pelo reduzido rigor com que são determinadas, são habitualmente expressas com não mais do que uma casa decimal e costumam depender do sistema de unidades que se usa. Estas constantes traduzem a nossa incapacidade ou a inconveniência de estudar a fundo o problema em causa e são uma utilização prática do teorema de Taylor, que todos os físicos e matemáticos conhecem. Estas constantes poderiam, em princípio, desaparecer se fôssemos ao fundo do problema, encontrando as relações exactas entre todas as variáveis em causa; não podem portanto qualificar-se como fundamentais.

Algumas constantes físicas traduzem relações de proporcionalidade exacta e não aproximada como no caso precedente; um exemplo é a lei de proporcionalidade entre a energia média das moléculas que constituem um gás e a sua temperatura, traduzida pela constante de Boltzman. Para os não físicos bastará dizer que as moléculas de um gás estão numa agitação constante, agitação essa que pode ser medida tanto pela temperatura do gás como pela energia média das moléculas. De facto temperatura e energia média traduzem, neste caso, exactamente a mesma coisa e podemos perguntar-nos porque medimos uma em graus e a outra em Joules. A razão principal para este estado de coisas é a tradição; foi preciso que se desenvolvesse a mecânica estatística para se perceber que se estava a medir a energia quando se media temperatura; entretanto já se haviam criado unidades diferentes para a mesma coisa. Quer dizer, a constante de Boltzman é, na essência, um factor de conversão de unidades. Contrariamente às constantes a que chamei de conveniência, é conhecida com grande precisão; podemos no entanto abdicar dela, bastando para tal que optemos por expressar as temperaturas em Joules. Não o fazemos na linguagem corrente, porque nos arriscaríamos a não sermos compreendidos por uma parte significativa da população, mas fazêmo-lo frequentemente na escrita de equações. Porque são factores de conversão de unidades, todas as constantes deste tipo têm um valor dependente dos sistemas de unidades em uso; a constante de Boltzman não tem o mesmo valor se for expressa em Joules por Kelvin ou em Joules por grau Fahrenheit.

Na física à dimensão humana, quer dizer, deixando de lado o mundo sub-atómico e o cosmos, é habitual considerar-se que existem quatro constantes fundamentais; se considerarmos também aquelas áreas esse número cresce para mais de duas dezenas. As quatro constantes fundamentais são: a velocidade da luz no vácuo, a constante de gravitação universal, que aparece no cálculo da força de atracção entre duas massas, a constante de Planck, que relaciona a frequência de um fotão com a sua energia, e uma constante escolhida entre as grandezas eléctricas, para a qual podemos seleccionar a carga eléctrica de um protão. Todas estas constantes são conhecidas com grande precisão e dependem dos sistemas de unidades em uso; a grande questão é: serão elas verdadeiramente fundamentais ou resultam, tal como a constante de Boltzman, de desenvolvimentos paralelos do nosso conhecimento, os quais nos levaram a definir unidades diferentes para coisas que não são distintas na essência?

Atentemos primeiro na velocidade da luz no vácuo, que todos recordarão ser de 300 000 Km/s. Através desta constante sabemos transformar um intervalo de tempo no espaço que a luz consegue percorrer durante esse tempo e assim, se quisermos, podemos medir comprimentos em segundos ou anos. É usual falar-se em segundos-luz ou anos-luz para significar que nos referimos a distâncias mas estes não são segundos ou anos diferentes dos outros; são precisamente a mesma coisa. Um segundo-luz é um segundo mas juntamos o apêndice luz para dizer que nos referimos a uma distância de 300 000 Km. Com Einstein e Minkowski as medidas de distâncias deixaram de ser distintas das de tempo; os conceitos de distância e tempo estão intimamente relacionados e não admitem uma distinção em termos de unidades. Em estudos de relatividade é prática comum medir tempos e comprimentos nas mesmas unidades, fazendo desaparecer a constante velocidade da luz no vácuo. É minha convicção que desde a formulação da teoria da relatividade restrita aquela deixou de ser uma constante fundamental.

Poderemos fazer o mesmo com as restantes constantes fundamentais? Como dissemos temos quatro constantes a considerar e significativamente temos em qualquer sistema de unidades também quatro dimensões fundamentais. A escolha destas pode recair, por exemplo, em comprimento, tempo, massa e carga eléctrica. Operando as quatro constantes fundamentais entre si podemos construir padrões para cada uma dessas dimensões; ao fazê-lo tornamos as nossas medidas independentes de metros padrão ou relógios atómicos, porque os padrões são todos obtidos à custa das constantes que consideramos fundamentais e imutáveis. Este procedimento permite, em princípio, que exista um único padrão para todas as medidas, tempo, comprimento, massa, etc., uma vez que sabemos convertê-las todas umas nas outras através das constantes fundamentais. A função do padrão único é apenas estabelecer um factor de escala universal, para que todos usemos o mesmo número para representar a mesma medida. As medidas efectuadas deste modo, por serem todas expressas na mesma unidade, deixam de necessitar de unidades e podem ser apelidadas de adimensionais; simultaneamente todas as constantes fundamentais desaparecem por se reduzirem à unidade. Um sistema de unidades deste tipo é vulgarmente designado por unidades de Planck ou naturais mas aquilo que pretendo vincar é que podemos, aparentemente, prescindir de todas as constantes fundamentais.

Realmente não é bem assim. Que diremos do número pi ou do número de Neper? O primeiro surge-nos incontornável sempre que relacionamos o perímetro de uma circunferência com o seu diâmetro e o segundo é igualmente incontornável, embora em situações menos comuns. Não há manipulação do sistema de unidades que faça desaparecer estes números, pura e simplesmente porque resultam de relações matemáticas e não têm unidades. Trata-se de constantes que não devem ser apelidadas de fundamentais porque o seu valor pode ser deduzido matematicamente e não tem que ser aceite a priori. Há pelo menos uma constante em física que, por ser adimensional, também não sofre alteração com as mudanças de unidades; trata-se da constante de estrutura fina, que aparece na interacção entre dois electrões. Esta é, de facto, uma verdadeira constante fundamental da física, a menos que se venha a descobrir uma série matemática que a tenha como ponto de convergência; nessa altura o seu valor deixará de ser um postulado e ela passará a ser mais um número do tipo de pi.

Que dizer relativamente à plêiade de constantes da física de partículas? Aqui o nível actual de conhecimentos é tão incipiente que podemos razoavelmente esperar o desaparecimento de muitas delas ao longo dos anos vindouros, à medida que a teoria se vá aperfeiçoando. Algo semelhante se passa provavelmente na cosmologia onde constantes como a densidade crítica do Universo e a constante cosmológica parecem soluções de recurso para as insuficiências da ciência actual. Temos esperança de que quando a física atingir a maturidade ela seja capaz de dispensar todas as constantes, excepto as adimensionais; estas poderão, porventura, acabar por se transformar em constantes matemáticas, deixando a física totalmente livre de constantes fundamentais. Se e quando este panorama se concretizar, a física transformar-se-á num conjunto de teoremas e relações matemáticas, deduzidas a partir de um reduzido número de axiomas, os quais constituirão os princípios físicos. Um dos princípios que permanecerão deverá determinar o número de dimensões do espaço em que a física se desenvolve; serão suficientes as quatro dimensões da teoria da relatividade geral, ou necessitaremos de onze, como defendem os teóricos das super cordas? A maior parte da comunidade científica pensa hoje que iremos precisar das onze dimensões mas um reduzido número de pessoas tenta provar que cinco são suficientes; parece definitivamente claro que quatro dimensões não bastam.

O que querem os físicos dizer quando falam em universos multi-dimensionais? A nossa percepção e os nossos instrumentos de medida dão-nos conta, directamente, de três dimensões, às quais todos nos habituámos. Toda a gente sabe que precisa de especificar três números para localizar exactamente um ponto relativamente ao globo terrestre: latitude, longitude e altitude; é a isto que nos referimos quando dizemos que o universo físico tem três dimensões. Einstein juntou a estas três o tempo. Trata-se de uma dimensão nitidamente diferente das outras três, pelo menos na forma como nos apercebemos dela. De facto a própria teoria da relatividade trata o tempo como uma dimensão especial; nunca se pode andar para trás no tempo, por exemplo. Aparentemente não há lugar para a introdução de novas dimensões porque não temos percepção delas nem os nossos instrumentos nos mostram evidência da sua existência. A haver mais do que quatro dimensões, as adicionais devem ter características que as distingam das três dimensões físicas e do tempo, de tal forma que possam passar-nos completamente despercebidas. Nas teorias do tipo das super cordas as novas dimensões estão como que enroladas sobre si próprias, de tal forma que ao nível macroscópico em que vivemos são impossíveis de detectar. O conceito não é nada intuitivo e é difícil de apreender mas tem trazido entusiasmados um número apreciável de cientistas, precisamente pela perspectiva de um dia vir a permitir a unificação total das várias áreas da física. Para a pequena comunidade que explora a possibilidade de haver apenas cinco dimensões, a nova dimensão é detectável apenas a nível cósmico. Trata-se de uma dimensão que se confunde com o tempo nas experiências laboratoriais mas que se separa deste ao nível das galáxias e nas experiências envolvendo velocidades próximas da velocidade da luz.

É pacífico que a unificação da física não pode ser conseguida sem uma mudança de paradigma; o problema reside em que todos sabem que é preciso mudar mas ninguém consegue afirmar com certeza qual é a mudança que funciona. A revolução trazida por Einstein constitui ela própria uma mudança de paradigma porque até então ninguém conseguia conceber que houvesse um limite para a velocidade; o facto de a velocidade da luz ser um máximo absoluto para todas as velocidades significa que, mesmo que fosse possível alguém viajar num comboio a uma velocidade próxima da da luz e dentro do comboio pudesse disparar uma bala a velocidade também ela próxima da da luz, a soma das duas velocidades não ultrapassaria aquele limite. Einstein introduziu ainda outros conceitos importantes que, em conjunto, mudaram significativamente a forma como olhamos para o Universo. Paralelamente, a revolução quântica iniciada por Planck constitui uma outra mudança de paradigma, esta com efeitos sobretudo na escala microscópica. Aqui tratou-se de dizer que a energia não pode variar de forma contínua mas apenas por saltos quânticos. Tratou-se ainda de afirmar que não há certezas mas apenas probabilidades no mundo quântico. Dificilmente se imagina uma mudança de paradigma semelhante a qualquer destas e, apesar disso, teremos provavelmente que esperar por uma revolução do mesmo calibre para conseguir colocar toda a física sob uma mesma teoria.

E que teremos todos a ganhar com a formulação de uma teoria unificada? Porque nos preocupa o facto de termos que mudar de teoria quando abordamos problemas diferentes, se as várias teorias forem fiáveis no seu domínio de aplicação? Há em primeiro lugar uma questão estética porque uma teoria elegante, de aplicação universal, será uma obra de arte que imortalizará o seu autor. Mas há mais. Quando se olha para um objecto de pontos de vista diferentes ganha-se perspectiva sobre esse objecto; de modo semelhante, quando se ataca um problema por vias diferentes descobrem-se aspectos que são escamoteados numa abordagem mais simples. Por outro lado estamos longe de poder afirmar que as teorias existentes são fiáveis às escalas do cosmos ou das partículas elementares e portanto é legítimo esperar que a revolução vindoura traga soluções para alguns dos problemas presentes.

Em que ficamos então relativamente a esta questão do que é fundamental na física e, através desta, no Universo? Não há a mínima dúvida de que parte dos conceitos que usamos e ligamos a manifestações e propriedades diferentes da realidade estão relacionados de tal forma que poderiam ser fundidos num único, fazendo desaparecer uma boa parte das constantes. Que este processo se irá um dia estender à física das partículas e ao cosmos é uma questão de fé; ou se acredita ou não de forma igualmente legítima. Como a fé move montanhas, aqueles que acreditam encontram nela a justificação suficiente para os seus esforços.

José Borges de Almeida

17 de Fevereiro de 2006

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